Filtry FIR. Crossovery i filtry kompensujące

W poprzednim artykule stanęliśmy na tym, że za pomocą filtrów FIR możemy nie tylko skorygować ogólną charakterystykę amplitudową i/lub fazową zestawu czy systemu nagłośnieniowego, ale również zaprojektować crossover o nawet bardzo dużym nachyleniu, ale niezmiennej fazie. Powiedzieliśmy sobie co nieco, z jakich filtrów możemy korzystać w rePhase – dla przypomnienia mamy dwa rodzaje: Linear-Phase Filters i Minimum-Phase Filters. W tym drugim przypadku możemy zaprojektować zwykły crossover minimalnofazowy, a więc taki, w którym zmianom amplitudy sygnału (filtracji dolno- lub górnoprzepustowej) będą towarzyszyły adekwatne zmiany fazy – np. filtr Butterwortha II rzędu przesuwa fazę o 180 stopni, a IV rzędu (24 dB/okt.) o 360 stopni. W zakładce możemy wybierać między filtrami Butterwortha i Linkwitza-Rileya, o regulowanym nachyleniu charakterystyki, oraz filtry I i II rzędu (a więc o nachyleniu – odpowiednio – 6 i 12 dB/okt), przy czym ten drugi o regulowanym parametrze Q, dzięki czemu możemy z niego stworzyć filtr Butterwortha, Bessla, Czebyszewa i inne.

Bardziej będzie interesowała nas druga zakładka – po to przecież chcemy użyć FIR-a (godząc się na wszelkie z tym związane niedogodności, jak np. zwiększona latencja), aby mieć możliwie najbardziej płaską fazę. To właśnie uzyskamy korzystając z filtrów o liniowej fazie (Linear-Phase Filters) – od najprostszych I i II rzędu (w tym drugim również możemy regulować dobroć Q), poprzez Linkwitza-Rileya (nie zmieniających w tym przypadku fazy), po filtry dedykowane FIR-om: „zakładkowe” (overlapping), strome filtry odcinające dolne i górne pasmo częstotliwości (Reject low i Reject high), filtry Horbacha-Keele’a oraz filtr typu „Brickwall” (ceglany mur).
Przejdźmy więc od słów do czynów.

FILTRY MINIMALNOFAZOWE

Projektując crossover z wykorzystaniem filtrów z zakładki Minimum-Phase Filters możemy stworzyć klasyczną zwrotnicę Butterwotha lub Linkwitza-Rileya nawet o „kosmicznym” nachyleniu 996 dB/okt. Trzeba jednak pamiętać, że w ślad za zwiększaniem nachylenia zbocza filtru podąża przesunięcie fazowe, które już dla filtrów o nachyleniu 24 dB/okt osiąga 360º.

Warto wspomnieć, o czym może nie wszyscy wiedzą, że owe 360-stopniowe przesunięcie (w przypadku tych konkretnie filtrów, a więc LR i Butterwortha o nachyleniu 24 dB/okt) rozciąga się wzdłuż całego pasma akustycznego, a w zasadzie to jeszcze dalej, czyli od 0 Hz do giga- czy teraherców (matematycznie rzecz ujmując do nieskończoności, w praktyce możemy przyjąć, że rozciąga się ono wzdłuż całego pasma akustycznego). Innymi słowy o 360 stopni, w przypadku tych konkretnych filtrów, przesunięte będą w fazie częstotliwości jednego skraju pasma w stosunku do częstotliwości z drugiego jego końca, a więc np. częstotliwość 20 kHz będzie właśnie przesunięta w fazie o ok. 360 stopni w stosunku do częstotliwości 20 Hz.

Pomiędzy tymi umownymi granicami przesunięcie przyjmuje różne wartości dla różnych częstotliwości, zależnie od tego, gdzie będzie leżała częstotliwość graniczna filtru, dla której przesunięcie fazowe będzie zawsze przyjmowało połowę wartości całkowitego przesunięcia (a więc w naszym przypadku, filtrów 24 dB/oktawę, dla częstotliwości granicznej przesunięcie fazowe – w stosunku do skraju pasma, a więc powiedzmy 20 kHz – będzie wynosiło 180 stopni). Ilustruje to rysunek 1, przedstawiający charakterystykę amplitudową i fazową filtru górnoprzepustowego Butterwortha IV rzędu (o nachyleniu 24 dB/okt), o częstotliwości granicznej 200 Hz.

Wróćmy do filtrów minimalnofazowych. Jeśli będziemy się upierać, aby korzystając z filtru FIR zaprojektować klasyczną zwrotnicę, opartą na filtrach minimalnofazowych, ze wszystkimi tego konsekwencjami w postaci opisywanego wcześniej przesunięcia fazowego, to oczywiście mamy taką możliwość. Pokazuje to przykład z rysunku 2.

Pierwszy wykres (a) to charakterystyka amplitudowa (linia ciągła) i fazowa (linia przerywana) 100-hercowego filtru górnoprzepustowego Linkwitza-Rileya o nachyleniu 24 dB/okt – jak widać, faza zmienia się od 360 do 0 stopni. Na drugim wykresie (b) przedstawiona jest zaimportowana do rePhase charakterystyka pewnego zestawu głośnikowego, zaś na kolejnym (c) wynik „zadziałania” (wciąż jeszcze w rePhase) naszego filtru na ów zestaw. Porównując te dwa wykresy widać wyraźnie, że w zakresie najniższych częstotliwości charakterystyka fazowa „podskoczyła” 360 stopni w górę.

Z kolei rysunek 3 pokazuję nam tę samą sytuację, ale już z pomiaru naszego realnego zestawu za pomocą programu REW. Tu również najpierw mamy charakterystykę zestawu głośnikowego przed obróbką naszym crossoverem (a) oraz po zaimplementowaniu 100-hercowego crossovera LR 24 dB/okt (b). Jak widać, tu również możemy zaobserwować „ucieczkę” charakterystyki fazowej w górę, a więc jej przesunięcie o ponad 300 stopni (jak możemy wywnioskować z wykresu 3b), towarzyszące obcięciu najniższych częstotliwości na charakterystyce amplitudowej.

Jak wspomniałem, projektowanie filtrów minimalnofazowych, a więc przesuwających fazę, nie jest tym, „co tygrysy (czyli filtry FIR) lubią najbardziej”. Można natomiast, cały czas korzystając z zakładki Minimum-Phase Filters, stworzyć filtr kompensacyjny, tj. taki, który będzie miał działanie odwrotne do tradycyjnego crossovera Butterwortha czy Linkwitza-Rileya. Wystarczy w pierwszej kolumnie parametrów (mode) wybrać zamiast trybu „normal” tryb „compensate”. Jeśli, przykładowo, znów stworzymy sobie filtr kompensacyjny Linkwitza-Rileya 24 dB/okt o częstotliwości 100 Hz, jego charakterystyki będą lustrzanym odbiciem (względem osi X) charakterystyk „prawdziwego” filtru LR 24 dB/okt (rysunek 4). Dzięki temu możemy niejako „odwrócić” działanie filtru, który np. w formie analogowej jest na stałe podłączony w obwodzie głośnika niskotonowego.

W ten sposób kompensujemy całkowicie działanie danego filtru – może to być zarówno filtr Linkwitza-Rileya, Butterwortha, jak i I i II rzędu (z parametrem Q). Program rePhase pozwala nam też zaprojektować filtr FIR, który pozostawi nienaruszoną charakterystykę amplitudową, ale skompensuje niekorzystny wypływ filtru LR na fazę, tzn. skompensuje tylko charakterystykę fazową. Służy do tego zakładka

FILTERS LINEARIZATION

Możemy tu nie tylko skompensować wpływ na charakterystykę fazową crossovera Linkwitza-Rileya, ale również wpływ rodzaju zastosowanej obudowy zestawu głośnikowego (zamknięta i bass-reflex o różnych wartościach parametru Q) oraz wpływ górnoprzepustowych filtrów subsonicznych Butterwortha i II rzędu.

Na rysunku 5 mamy przykład zastosowania takiego filtru w celu „odwrócenia” przesunięcia fazy wprowadzonego przez 100-hercowy minimalnofazowy filtr LR 24 dB/okt. Pierwszy wykres (a) prezentuje, jak wygląda ten filtr w programie rePhase. Wykres drugi (b) domniemany przebieg charakterystyk (amplitudowej i fazowej) naszego zestawu głośnikowego z minimalnofazowym filtrem LR24 i filtrem linearyzującym fazę, zaś trzeci wykres (c) przedstawia już faktyczny przebieg tych charakterystyk. Porównując charakterystyki z rysunku 5c z charakterystykami rysunku 3a i 3b stwierdzamy, że faktycznie charakterystyka amplitudowa jest jak na rysunku 3b (podcięty dół przez filtr analogowy), zaś fazowa jak w 3a (faza jest taka sama, jak w zestawie przed załączeniem crossovera).

W ten sam sposób możemy skompensować przesunięcia fazowe (zlinearyzować fazę) wprowadzane w zakresie małych częstotliwości przez obudowy, zarówno bass-reflex (o trzech rodzajach dobroci), jak i zamknięte (9 różnych wartości parametru Q). Jeśli mamy zaimplementowany górnoprzepustowy filtr Butterwortha II, III, IV lub VI rzędu (a więc o nachyleniu – odpowiednio – 12, 18, 24 lub 48 dB/okt), filtr FIR również jest w stanie skompensować przesunięcie fazowe wpraszane przez ten filtr.

Co ciekawe, pomimo tego że jest to filtr typu „subsonic”, możemy wybrać dowolną częstotliwość, więc również skompensować fazę filtru Butterwortha dla wyższych częstotliwości, nie tylko subsonicznych.

Pozostała nam trzecia zakładka, z której chyba najczęściej będziemy korzystać, chcąc zaprojektować crossover z wykorzystaniem filtru FIR.

LINEAR-PHASE FILTERS

Tutaj możemy zaprojektować filtr, który może mieć nawet bardzo strome zbocza, nie wpływając jednak w żaden sposób na fazę sygnału. Jeśli będziemy bardzo chcieli możemy stworzyć najprostszy filtr, I lub II rzędu (w tym drugim również możemy regulować dobroć Q), jednak dobrodziejstwo braku wpływ na fazę ujawnia się najbardziej w stromych filtrach, a tych też mamy kilka rodzajów. Są klasyczne crossovery Linkwitza-Rileya, w których możemy uzyskać nachylenie nawet 996 dB/oktawę (o ile pozwali nam na to dostępna w naszym urządzeniu liczba współczynników filtru FIR), a faza cały czas będzie płaska, jak stół. Mamy też i inne opcje, których tradycyjne filtry analogowe czy cyfrowe (ale minimalnofazowe) nam nie udostępniają.

Mam tu na myśli np. strome filtry odcinające dolne i górne pasmo częstotliwości (Reject low i Reject high), filtr Horbacha-Keele’a oraz filtr typu „Brickwall” (ceglany mur rysunek 6a). Ten ostatni w swojej idealnej wersji charakteryzuje się nieskończenie dużym nachyleniem zbocza zaczynającego się dokładnie w punkcie odcięcia filtru – jednak takie nachylenie możemy uzyskać tylko teoretycznie. W praktyce, w zależności od liczby współczynników filtru, będzie on miał bardziej lub mniej strome zbocze opadające. Filtr Horbacha-Keele’a charakteryzuje się zmiennym parametrem ratio, który przyjmuje wartości od 1 do 4,5. Filtr Horbacha-Keele’a o wartości ratio równym 1 odpowiada filtrowi typu „Brickwall” (rysunek 6b). Zwiększając współczynnik powodujemy powstawanie coraz większego „kolana”, czyli bardziej płynne przejście charakterystyki amplitudowej z części płaskiej (pasmo przepustowe) do części stromej (pasmo zaporowe – rysunek 7), przy czym dolny zakres stromej części pozostaje cały czas – w swojej idealnej postaci – linią pionową.

Filtry Reject low i Reject high są filtrami o charakterystyce „pomiędzy” filtrami Linkwitza-Rileya a Horbacha-Keele’a. W górnej części charakterystyki, czyli tam, gdzie z płaskiej zaczyna przechodzić ona w nachyloną, filtry odcinające mają przebieg zbliżony do filtrów Linkwitza-Rileya, z poziomem sygnału w częstotliwości granicznej o 6 dB niższym niż w paśmie przepustowym (tak jak w filtrach LR). Tak więc złożenie dwóch filtrów – Reject low i Reject high o tym samym współczynniku ratio i tej samej częstotliwości granicznej – da w efekcie płaską charakterystykę wypadkową, czyli dokładnie tak, jak w przypadku filtrów Linkwitza-Rileya. Natomiast poniżej częstotliwości granicznej charakterystyka w filtrach odcinających opada z rosnącą stromością (a nie jak w filtrach LR ze stałym nachyleniem), tak więc częstotliwości w paśmie zaporowym zostają dość szybko wytłumione (aczkolwiek nie aż tak, jak w filtrach Horbacha-Keele’a). Przedstawiają to zrzuty ekranowe z programu rePhase (rysunek 8a, b i c), przy czym pod literą a mamy filtr LR 48 dB/oktawę, pod literką b filtr Reject low, również o nachyleniu 48 dB/okt, zaś pod literką c filtr Horbacha-Keele’a o współczynniku ratio równym 1,2 – wszystkie filtry o częstotliwości granicznej równej 1.000 Hz.

W przyszłym miesiącu, w – mam nadzieję – ostatnim odcinku serii, zajmiemy się wpływem liczby współczynników filtru i rodzaju okna czasowego na rzeczywisty przebieg stromych filtrów typu Reject low i Reject high, Horbacha-Keele’a i Brickwall, które to parametry mają duży wpływ na charakterystykę filtru w paśmie zaporowym, szczególnie w zakresie niższych częstotliwości.

Piotr Sadłoń