Filtry cyfrowe w praktyce. Filtry FIR

Jednak dopiero od niedawna, dzięki rozwojowi techniki i nowych technologii, znalazły swoje praktyczne zastosowanie i mogły trafić pod przysłowiowe strzechy.

Czy filtry FIR to panaceum na wszelkie bolączki związane z filtracją dźwięku, które do tej pory nas prześladowały? Czy są one „filtrowym mesjaszem”, dzięki któremu można łatwo uzyskać idealne brzmienie?

Odpowiedź brzmi „oczywiście, że nie”. Jak wszystko na tym świecie FIR-y mają swoje „plusy ujemne i plusy dodatnie”, aczkolwiek jest to bardzo przydatne i potężne narzędzie w ręku kogoś, kto zna jego mocne oraz słabe strony, potrafi wykorzystać te pierwsze, a omijać te drugie, czyli – mówią prościej – umie się nimi rozsądnie i świadomie posługiwać.

CO TO JEST?

Na początek krótkie przypomnienie – albowiem dość obszernie opisywaliśmy filtry FIR i IIR całkiem niedawno – co to są filtry FIR, jak „działają” oraz jakie są ich wady i zalety.

Jednym ze sposobów przedstawienia filtrów FIR – tak, aby zrozumieć idee ich działania – jest porównanie ich do filtrów będących ich „konkurencją”, tj. filtrów o nieskończonej odpowiedzi impulsowej, czyli IIR. Ogólnie rzecz ujmując, filtry typu IIR mogą być zarówno analogowe, jak i cyfrowe, „zachowujące” się tak, jak analogowe. IIR-y do uzyskania swojej odpowiedzi impulsowej potrzebują informacji „zwrotnej”, tzn. część sygnału wyjściowego trafia z powrotem na jego wejście. Takie „rekurencyjne” działanie filtru oznacza, iż jego odpowiedź impulsowa teoretycznie nigdy nie osiąga zera. Oczywiście w praktyce jest inaczej, bowiem sygnał wyjściowy w końcu spada do poziomu szumów. Biorąc jednak pod uwagę ten fakt (iż część sygnału wyjściowego trafia na wejście), w przypadku ich niewłaściwego zaprojektowania filtry IIR mogą być niestabilne. Wszystkie filtry analogowe są filtrami typu IIR.

PRZYKŁAD

Popatrzmy, jak to wygląda w praktyce. Zastosujmy tradycyjny filtr analogowy, albo filtr IIR, do skorygowania charakterystyki częstotliwościowej przykładowego głośnika – jego charakterystykę amplitudową (tego filtru) przedstawia rysunek 1a, zaś fazową 1b. Jak widać, charakterystyka ta jest ograniczona od dołu i od góry pasma (mamy więc zastosowany filtr górno- i dolnoprzepustowy), a dodatkowo pomiędzy nimi mamy jakieś górki i dolinki, a nawet dolinkę w górce.

Każda „bulwa” w charakterystyce amplitudowej wiąże się z ujemnym (od wartości wyższych do niższych) przesunięciem fazowym, a więc zmianą na charakterystyce fazowej, zaś każda „dziura” w charakterystyce amplitudowej niesie ze sobą zmianę na charakterystyce fazowej o pozytywnym nachyleniu (od wartości niższych do wyższych). Zarówno filtracja dolnoprzepustowa, jak i górnoprzepustowa „produkują” ujemne przesunięcie fazowe. Stąd wykres zmian fazy na rysunku 1 charakteryzuje się permanentnym spadkiem (co jest związane z faktem odfiltrowania pasma w górze i dole pasma) – pamiętać trzeba, iż pionowe kreski wynikają z faktu „zawijania” charakterystyki fazowej, bowiem jest ona przedstawiana w zakresie od 180 do -180 stopni. Natomiast w części środkowej pojawiają się pewne zafalowania, odpowiadające górkom i dolinkom na charakterystyce amplitudowej.

Jak więc widać, zmianom amplitudy sygnału nieodłącznie towarzyszą przesunięcia w fazie, które są nieuniknione i nieodłącznie związane z filtracją. Osoby, dla którym tematyka charakterystyki fazowej nie jest obca, są nawet w stanie przewidzieć, jak mniej więcej będzie wyglądała charakterystyka fazowa danego układu, patrząc na przebieg charakterystyki amplitudowej, i vice versa. Dotyczy to jednak tylko tzw. układów minimalnofazowych, tzn. takich, dla których obie charakterystyki pozostają w przewidywalnych relacjach.

Pojęcie „układu minimalnofazowego” nie oznacza bynajmniej braku przesunięć fazowych. Oznacza natomiast, iż jego charakterystyka fazowa charakteryzuje się możliwie najmniejszymi przesunięciami fazowymi towarzyszącymi zmianom charakterystyki amplitudowej. Jak wspomniałem, relacje między tymi charakterystykami są przewidywalne, tak iż odpowiednie programy pomiarowe są w stanie odtworzyć przebieg jednej z tych charakterystyk na podstawie przebiegu drugiej.

Minimalnofazowość jest często bardzo pożądaną cechą filtrów. Dlaczego? Ponieważ górki i dolinki na charakterystyce amplitudowej głośnika są (przeważnie) również minimalnofazowe, jako że głośniki są (również przeważnie) układami minimalnofazowymi. Oznacza to, iż korzystając z tradycyjnych filtrów analogowych lub cyfrowych IIR (a więc minimalnofazowych) jesteśmy w stanie „naprawić” nie tylko charakterystykę amplitudową, ale również i fazową, bowiem zabiegi powodujące wygładzanie przebiegu jednej skutkują też tym samym w przypadku drugiej. Patrząc z tego punktu widzenia, przesunięcia fazowe wprowadzane przez filtry nie są wcale „złem koniecznym”, ale wręcz zjawiskiem pożądanym. Dlatego też odpowiedź na pytanie „czy przesunięcie fazowe w filtrach jest dobre, czy złe” – jak to przeważnie w życiu bywa – brzmi „to zależy”.

LINIOWA FAZA

Filtry FIR mogą wprowadzać zmiany w przebiegu charakterystyki amplitudowej bez żadnych „efektów ubocznych” w postaci towarzyszących im przesunięć fazowych. Na rysunku 2 przedstawiono przebieg charakterystyki fazowej odpowiadającej charakterystyce amplitudowej z rysunku 1a – różnica polega na tym, iż filtry górno- i dolnoprzepustowy zostały zastąpione przez filtry typu FIR, dające w efekcie taki sam przebieg amplitudy sygnału, jaki uzyskaliśmy za pomocą filtru IIR (albo analogowego).

Jak widać, przebieg charakterystyki fazowej jest w tym przypadku linią zbliżoną do płaskiej, tzn. jej przebieg jest niezależny od częstotliwości (oprócz tych miejsc, gdzie „działają” filtry IIR, powodujące powstawanie górek i dolinek na charakterystyce amplitudowej). Stąd właśnie wzięło się określenie „liniowej fazy”, cechy charakterystycznej filtrów FIR, która pozwala dokonywać zmian amplitudy sygnału bez żadnych zmian w fazie. Tak więc w przypadku filtrów minimalnofazowych przebiegi amplitudy i fazy są współzależne, zaś w przypadku FIR-ów są one niezależne. W filtrach FIR, patrząc na przebieg ich charakterystyki fazowej nie jesteśmy w stanie określić, jak wygląda ich charakterystyka amplitudowa – czy zastosowany filtr jest górno-, dolno-, czy pasmowoprzepustowy, a może pasmowozaporowy?

„Pozbycie” się analogowych filtrów HP i LP i zlinearyzowanie przebiegu fazy pozwoliło nam też lepiej zauważyć, jaki wpływ na przebieg fazy mają wspomniane wcześniej podbicia i podcięcia na charakterystyce amplitudowej.

ZASTOSOWANIE

Aplikacjami, w których filtry FIR mogą się „wykazać”, są crossovery. Korzystając z filtrów FIR można zaprojektować chroniący driver filtr górnoprzepustowy o niemalże dowolnym nachyleniu zbocza – wartości 96 dB/oktawę i więcej nie są tutaj niczym nadzwyczajnym.

Filtry minimalnofazowe (IIR lub analogowe) o takim nachyleniu zbocza miałyby tragiczną charakterystykę fazową. Wynika to z faktu, iż w tego typu filtrach stromym zboczom na charakterystyce amplitudowej odpowiadają równie gwałtowne zmiany przebiegu charakterystyki fazowej. Zjawisko to stawia praktyczną granicę, jeśli chodzi o nachylenie (rząd) zwrotnic opartych na klasycznych filtrach. Na rysunkach 3a i 3b zaprezentowana jest charakterystyka amplitudową i fazowa zwrotnicy IIR Linkwitz-Rileya (HP i LP) o nachyleniu 48 dB/okt.

Dla porównania na rysunku 4 przedstawiona jest charakterystyka amplitudowa crossovera typu FIR 8 rzędu (o nachyleniu 96 dB/okt). Widać wyraźnie większe nachylenie zboczy filtrów crossovera.

Rysunek 5 przedstawia opóźnienie grupowe (group delay) crossovera,

zaś rysunek 6 jego charakterystykę fazową, po uwzględnieniu (odjęciu) opóźnienia grupowego. Jak widać, charakterystyka fazowa jest idealnie płaska.

Crossover z filtrami FIR pozwala nam jednocześnie „zjeść ciastko i mieć ciastko” – mamy filtry o stromych zboczach i jednocześnie linową charakterystykę fazową. Oczywiście nie ma nic za darmo – jak widać na wykresie z rysunku 4, „płacimy” za to opóźnieniem sygnału przekraczającym 20 ms. To opóźnienie sygnału wprowadzane przez filtr FIR jest w zasadzie jedynym „hamulcowym” w powszechnym stosowaniu tego typu rozwiązań zawsze i wszędzie.

ODPOWIEDŹ IMPULSOWA JAKO FILTR

Ci, którzy zajmują się pomiarami głośników, zestawów głośnikowych, a także pomieszczeń dobrze wiedzą, co to jest odpowiedź impulsowa. W teorii jest to zarejestrowana odpowiedź badanego obiektu na pobudzenie deltą Diraca, czyli impulsem o nieskończenie krótkim czasie trwania. Jak widać, już samo pojęcie „nieskończenie” uzasadnia, dlaczego jest to tylko teoria. W praktyce większość systemów pomiarowych używa przemiatanego sinusa lub sygnału typu „chirp” (który jest również przemiatanym sygnałem sinusoidalnym, tylko o bardzo krótkim czasie trwania), który „przepuszcza” się przez mierzony system, a następnie rejestruje i przetwarza jego odpowiedź na charakterystykę (odpowiedź) impulsową.

Z kolei odpowiedź impulsowa może być przetransformowana w domenę częstotliwości (za pomocą FFT, a tak naprawdę DFT), co daje nam w efekcie charakterystykę amplitudową i fazową badanego systemu. Charakterystyki te natomiast mogą być przetworzone znów w domenę czasu (za pomocą odwrotnej transformaty Fouriera, czyli iFFT lub iDFT), aby uzyskać wykres odpowiedzi impulsowej systemu. Można więc prześledzić zachowanie się filtru zarówno w domenie czasowej, jak i częstotliwościowej.

Co to ma wspólnego z filtrami FIR? Odpowiedź impulsowa głośnika czy pomieszczenia jest tak naprawdę filtrem typu FIR, bowiem jej przebieg opada do 0 (lub do poziomu szumów) ze względu na jej skończoną długość. Z tego powodu filtry FIR nazywa się czasem „filtrami dziedziny czasu” lub „filtrami spotu”, pomimo tego że w rzeczywistości ich implementacja odbywać się może poprzez mnożenie w dziedzinie częstotliwości dokonywane przez oprogramowanie lub sprzęt cyfrowy. Jak wspomniałem, odpowiedź częstotliwościowa może być przetransformowana w dziedzinę częstotliwości i zaprezentowana w formie charakterystyk – amplitudowej i fazowej. Jeśli je odwrócimy (odbijemy względem osi częstotliwości), uzyskamy „negatyw” tych charakterystyk (rysunek 7). Jeśli przemnożymy charakterystyki oryginalne i odwrócone, uzyskamy płaską linię prostą, bowiem obie te charakterystyki zniosą się wzajemnie. W dziedzinie czasu zaś otrzymamy idealny impuls.

Ma to ogromne znaczenie w pracy nad wyrównaniem charakterystyk głośnika, zestawu głośnikowego czy odpowiedzi pomieszczenia – każda zmierzona charakterystyka, po jej odwróceniu, może być zastosowana jako filtr korekcyjny. Jest to o tyle istotne, iż filtry FIR możemy projektować w dowolny sposób, tzn. można zadać nawet najbardziej „fikuśny” kształt charakterystyki amplitudowej, jak i fazowej takiego filtru. I inaczej niż w przypadku filtrów IIR, gdzie mamy określone ich typy (górno-, dolno- czy pasmowoprzepustowy, albo pasmowozaporowy), możemy zaprojektować JEDEN filtr FIR np. o charakterystyce takiej, jak ten na rysunku 8.

„Korygujące” filtry FIR można używać do:
1. Niemalże idealnego spłaszczenia przebiegu charakterystyk głośnika
– zarówno amplitudowej, jak i fazowej
– włącznie z kompensacją takich anomalii, jak odbicia wewnątrz tuby drivera, wpływ grilla zestawu na wytwarzaną falę dźwiękową czy dyfrakcja na krawędziach zestawu.
2. Niwelowania anomalii pomieszczenia, takich jak efekty brzegowe w pobliżu głośnika i (bardziej w teorii niż praktyce) odbicia w pomieszczeniu.
3. Poprawy charakterystyki systemu liniowego poprzez indywidualny processing dla każdego komponentu systemu (jak np. w systemach z serii J, V i Y firmy d&b audiotechnik, z wykorzystaniem funkcji ArrayProcessing oprogramowania ArrayCalc i nowych wzmacniaczy D20 i D50).

Charakterystykę filtru FIR można uzyskać bezpośrednio z pomiaru, odbijając ją względem osi X (osi częstotliwości) – co ciekawe, dotyczy to zarówno charakterystyki amplitudowej, jak i fazowej. To, że filtr FIR może mieć płaską charakterystykę fazową, nie oznacza bynajmniej, że zawsze musi ona być płaska – możemy ją równie dowolnie kształtować, jak amplitudę. Pozwalają nam na to specjalistyczne narzędzia, tj. programy – jednemu z nich, rePhase, poświęcimy więcej uwagi w kolejnym numerze.

Zanim jednak do tego przystąpimy, musimy sobie wyjaśnić jeszcze jedną rzecz. Filtr FIR, owszem, może zbliżyć charakterystykę naszego głośnika/zestawu głośnikowego – również pracującego w konkretnym pomieszczeniu, a więc z uwzględnieniem warunków akustycznych tam panujących – niemalże do ideału, ale w danym punkcie przestrzeni. Ponieważ nie ma dwóch punktów przestrzeni, w których odpowiedź impulsowa byłaby idealnie taka sama, nie mamy możliwości uzyskania „perfekcyjnej” korekcji dla całej nagłaśnianej przestrzeni, ani nawet dla jej większego fragmentu.

Nie oznacza to bynajmniej, że korekcja FIR jest „psu na budę”, a jedynie tyle, że musimy liczyć się z tym, że nie będziemy w stanie – nawet przy wykorzystaniu najbardziej wyrafinowanych narzędzi (jak choćby wspomniany ArrayProcessing) – stworzyć przestrzeni, w której wszędzie będą panowały idealne warunki odsłuchowe. Musimy – jak to w życiu – w dalszym ciągu iść na pewne kompromisy, które będą tym większe, im większe (a więc generalnie trudniejsze) będzie pomieszczenie, które będziemy musieli nagłośnić.

KONKLUZJA

Podsumujmy najistotniejsze informacje dotyczące filtrów FIR, jakie w tym artykule wysnuliśmy:

1. Filtr FIR może zmienić – nawet drastycznie – charakterystykę amplitudową głośnika czy zestawu głośnikowego, bez jakiejkolwiek zmiany jego charakterystyki fazowej. Możemy za jego pomocą zaprojektować zwrotnicę o bardzo stromych zboczach, która nie będzie wprowadzać żadnych przesunięć fazowych. Ten „bonus” niestety kosztuje – musimy liczyć się ze wzrostem latencji (opóźnienia) sygnału.

2. Każda zmierzona odpowiedź impulsowa może być użyta jako filtr FIR. Takich możliwości korekty charakterystyk zestawów głośnikowych czy też pomieszczenia nie dawały dotychczas stosowane metody, wykorzystujące klasyczne filtry typu IIR (analogowe lub cyfrowe).

3. Filtry FIR mogą być zarówno w wersji software’owej, jak i hardware’owej, co pozwala na ich używanie do przetwarzania sygnałów w czasie rzeczywistym. Na rynku jest już kilka DSP (a także końcówek mocy wyposażonych we własne DSP) obsługujących filtry FIR zaprojektowane przez użytkownika.

Tak więc jeśli chodzi już stricte o systemy nagłośnieniowe, filtr FIR mogą być wykorzystywane:
1. W crossoverach.
2. Do korekcji charakterystyki zestawów głośnikowych.
3. Do odsłuchiwania odpowiedzi pomieszczenia poprzez splot – czy to zmierzonej, czy wygenerowanej przez program do modelowania akustyki wnętrz.
4. Do kształtowania wiązki dźwięku w systemach typu line array.

Filtry cyfrowe to obecnie nie tylko „plątanina” kondensatorów, cewek i rezystorów czy też ich odpowiedniki, zrealizowane za pomocą układów scalonych. Mogą być projektowane bezpośrednio z charakterystyk lub matematycznych algorytmów i implementowane w czasie rzeczywistym z wykorzystaniem zaawansowanych technologii cyfrowego przetwarzania dźwięku.

Piotr Sadłoń